随机矩阵（ stochastic matrix）

<=1。现今有一个特征值是1，只要证明其余各特征值的绝对值都小于等于1即可。

于是我又查找了相关资料，并在“数学博士论坛”发帖请教，得到的回复是要证明它，粗略地讲利用圆盘定理即可，若要精细的证明还要利用Perron-Frobenius Theorm[9][10][11][12]。一个个新的概念和方法出现在面前，看来需要系统的学习数值方法、数值计算理论。查找到的资料[10]表明任何矩阵的谱半径都不大于该矩阵任意诱导矩阵范数，而随机矩阵的L1-Norm值是1，那么谱半径（是主特征值的等价说法）不大于1，而由于1是A的一个特征值，那么就不可能出现绝对值大于1的特征值了：1确实是随机矩阵A的主特征值。

那么对上述性质的证明就等价于证明资料[10]中的结论了。

其实，“任意复数域上的矩阵的谱半径不大于其任意一种诱导范数”只是矩阵的一个基本的性质。其具体证明见下图：

根据以上的证明结果可知，对任意的行随机矩阵，其谱半径是1，即最大特征值是1得证。

由此可知，其实矩阵的一个小小的性质对于没有系统学习过矩阵理论的人有时确实是一个难题。要入行，就当懂行规，要入门，就当精通门路。

随机矩阵的主特征值以及second largest eigenvalue的比值是幂法收敛速度的一个基本的衡量标准。PageRank的计算有多种方式，而对此的研究也是不计其数，当然最传统的还是利用幂法来确定抓取入库的各网页的PageRank值。由于web网页的数量巨大，针对幂法收敛速度的考虑就不是多余无用的分析。而两特征值的“谱隙”（Eigengap）主要用来衡量利用幂法求解得到的PR值的稳定性的。由此看来，特征值分析对于理解PageRank算法起到关键作用。

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